不定期便 第12号ふだんの物理学 |
発行 2010年4月16日 発行者 熊野宗治 |
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４
月はわずかに遠ざかったり近づいたりする
――さらにわれわれは太陽を中心として惑星たちは回っていると思いがちですが、実際は太陽と惑星すべての総和としての重心の周りを惑星たちは回っています。従って、太陽もまた、厳密には同じその全重心の周りに、惑星運動と同じく、微小な半径をもって回っているはずです。
つぎに、連星に働いている相互間の遠心力はその連星の“重心”へ働いているとみてよいかどうかを調べてみましょう。
Ｃ図
Ｄ図
Ｍα１＝Ｍｒ１・ω２
ｍα２＝ｍｒ２・ω２
この両者は釣合っていて等しく
Ｍｒ１・ω２＝ｍｒ２・ω２
従って
Ｍｒ１ ＝ｍｒ２
これはモーメント釣合い方程式と一致しており、連星の遠心力の中心はそれらの重心であることがわかりました。
――万有引力のほうはどうでしょうか、先ほど來、１つの月を黒丸と白丸の２つからなるとモデル化しました。こんどはその黒白それぞれに対し引力が働いているのではないかと考えてみます。黒丸白丸の重心から地球までの距離はＲであるとしておきましょう。
このとき、Ｍとｍの各質量に働く地球からの引力の和は、それらの重心に質量和が存在するとした場合に働く引力と、必ず等しいのでしょうか？
Ｃ図の場合を見ますと、まず、それぞれに働く引力は
Ｆ＝MK／（R＋r1）2＋mK／（R－ｒ1）2
……………⑫
つぎに、重心に働くとした場合には
Ｐ＝（M＋m）K／R2 ……………⑬
ということになります。これらは等しいでしょうか？ ここに、ＫはＫ＝ＧＭｅで、万有引力常数Ｇと地球の質量Ｍｅとの積。
ところが、この⑬式の結果が⑫式に等しいかどうかは、数式計算からは存外複雑になることがわかりまして、⑬式と⑫式との差をとってそれがゼロになるかを試みましたがこれも複雑。比をとってみて１になるかも、難解とあって、ついに放棄してしまいました。
で、簡便なやり方でありますが、具体的数値を放り込んで確かめることにします。まず、Ｒ＝１００，Ｍ＝２，ｍ＝１，ｒ１＝１，ｒ２＝２としてみますと⑫式からは
Ｆ／Ｋ＝（電卓で）＝0.0003001824…
と得られ、⑬式からは同じく